PROBLEMI con m.c.m e M.C.D

Le tecniche per calcolare il m.c.m. ed il M.C.D. possono essere molto utili nella risoluzione di problemi, come possiamo vedere dai seguenti esempi.

ESEMPIO 1

E’ necessario recintare un terreno di forma triangolare con i lati lunghi 42 m, 48 m e 60 m. Per far ciò dovranno essere sistemati dei pali di sostegno della recinzione, tutti alla stessa massima distanza tra loro, facendo in modo che ci sia un palo in ogni vertice.

A quale distanza andranno piantati i pali? Quanti pali occorreranno?

Riflettiamo: i pali dovranno essere distribuiti alla stessa distanza tra loro, quindi occorre cercare un divisore comune tra 42, 48 e 60. Poiché la distanza tra i pali deve essere la massima possibile, dobbiamo cercare il massimo divisore comune, quindi il M.C.D.

Effettuata la scomposizione in fattori primi, abbiamo questa situazione

42 = 2 x 3 x 7

48 = 2⁴ x 3

60 = 2² x 3 x 5

M.C.D.: 2 x 3 = 6

I pali andranno piantati ad una distanza di 6 m l’uno dall’altro.

Poiché il perimetro del triangolo misura 42 + 48 + 60 = 150 m, dividendo questa lunghezza per 6 otterremo il numero di pali necessari

150 : 6 = 25 pali occorrenti.

ESEMPIO 2

Maria, Luigi e Giuseppe vanno in bicicletta percorrendo varie volte un circuito. Partono tutti e tre dallo stesso punto e nello stesso momento. Maria impiega 12 minuti per ritornare al punto di partenza, Luigi ne impiega 6 e Giuseppe invece ritorna al punto di partenza ogni 9 minuti. Dopo quanti minuti si incontreranno nuovamente tutti insieme al punto di partenza?

Riflettiamo: i minuti che dovranno passare per far sì che i tre si incontrino nuovamente dovranno essere un multiplo di 12, 6 e 9, il minimo comune multiplo.

Effettuata la scomposizione in fattori primi, risulta che:

12 = 2² x 3

6 = 2 x 3

9 = 3²

m.c.m.: 2² x 3² = 36

I tre amici si incontreranno nuovamente al punto di partenza dopo 36 minuti.

ESERCIZI

1)  Un agricoltore ha raccolto 150 kg di mele, 110 kg di pere e 200 kg di arance. Vuole sistemare la frutta raccolta in cassette che abbiano tutte lo stesso peso e che contengano ciascuna lo stesso tipo di frutta. Quale sarà il peso di ogni cassetta? Quante cassette potrà riempire?

2)  Le signore Anna, Fiorenza e Rosanna iniziano oggi, 18 aprile, ad andare in palestra. Per la prima volta vanno insieme, successivamente Anna potrà andare in palestra ogni 3 giorni, Fiorenza andrà ogni 4 giorni, mentre Rosanna potrà andare solo ogni 6 giorni. Quale sarà la data in cui si troveranno nuovamente insieme in palestra?

3)  4 ferrovieri si incontrano, durante i loro viaggi in treno, alla stazione di Milano il 1° settembre. Se ritornano a Milano rispettivamente ogni 3, 5, 10, 6 giorni, dopo quanti giorni si incontreranno nuovamente? Quante volte si incontreranno a Milano in un anno?

4)  In una biblioteca sono arrivati dei nuovi libri: 60 libri di storia, 45 libri di geografia e 40 libri di scienze. Si decide di sistemarli in parti uguali nel maggior numero possibile di scaffali che contengano ciascuno i tre tipi di libri. Quanti scaffali si dovranno usare? In ogni scaffale quanti libri di storia, geografia e scienze si dovranno mettere?

5) Dei tre fornitori di un negozio, il primo passa ogni 10 giorni, il secondo ogni due settimane ed il terzo ogni 15 giorni. Se si incontrano tutti insieme il 3 di marzo, quando si incontreranno di nuovo per la prima volta?

E' possibile che due di essi si incontrino prima di tale data?

6) Ho acquistato 20  piantine di viole di colore giallo e 12 di colore blu. Voglio trapiantarle in vasi uguali fra di loro; mi piacerebbe disporre le piante in modo che

- ogni vaso contenga lo stesso numero di piante

- ogni vaso abbia viole dello stesso colore

- il numero dei vasi utilizzati sia il minore possibile

Come posso fare? Di quanti vasi avrò bisogno?

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