EQUAZIONI LOGARITMICHE

EQUAZIONI LOGARITMICHE

Definizione

Un’ equazione si dice logaritmica quando l’ incognita compare nell’ argomento di almeno un logaritmo.

Esempi:

è un’equazione logaritmica

NON è un’equazione logaritmica

Consideriamo le equazioni logaritmiche che possiamo scrivere nella forma:

dove con e indicano due funzioni nell’incognita .

Per le condizioni di esistenza dei logaritmi deve essere

Dal momento che

per risolvere l’ equazione è sufficiente cercare le soluzioni di e controllare successivamente se queste soddisfano le condizioni di esistenza.

ESEMPIO SVOLTO n. 1

Condizioni di esistenza:

cioè C.E.: .

Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto:

Passando all’uguaglianza degli argomenti:

;

Il valore -2 non soddisfa la condizione di esistenza posta (), che è invece soddisfatta da 3, quindi l’ unica soluzione dell’ equazione logaritmica iniziale è

ESEMPIO SVOLTO n. 2

Le condizioni di esistenza dei logaritmi sono date dalle soluzioni del sistema di disequazioni quindi C.E.

Applicando la proprietà del logaritmo di un prodotto al primo membro si avrà:

Il secondo membro può essere sostituito da , in quanto il logaritmo di 10 ( in base 10) è proprio uguale ad 1:

Ora è possibile uguagliare gli argomenti:

Questa è una semplice equazione di secondo grado che ha come soluzioni:

x₁= - 5 e x₂ = +2

Considerando le condizioni di esistenza trovate prima, si vede che solo la seconda soluzione è accettabile, mentre la prima è da scartare in quanto rende negativi gli argomenti dei logaritmi.

ESEMPIO SVOLTO n. 3