EQUAZIONI LOGARITMICHE

 

Definizione

 

Un’ equazione si dice logaritmica quando l’ incognita compare nell’ argomento di almeno un logaritmo.

 

 

Esempi:

 è un’equazione logaritmica

 

 NON è un’equazione logaritmica

 

Consideriamo le equazioni logaritmiche che possiamo scrivere nella forma:

 

 

dove con  e  indicano due funzioni nell’incognita .

Per le condizioni di esistenza dei logaritmi deve essere        

Dal momento che

 

                      

 

per risolvere l’ equazione è sufficiente cercare le soluzioni di  e controllare successivamente se queste soddisfano le condizioni di esistenza.

 

ESEMPIO SVOLTO n. 1

 

 

Condizioni di esistenza:

                              cioè C.E.: .

 

Applichiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto:

 

   

 

Passando all’uguaglianza degli argomenti:

 

                             ;       

 

Il valore -2 non soddisfa la condizione di esistenza posta (), che è invece soddisfatta da 3, quindi l’ unica soluzione dell’ equazione logaritmica iniziale è

 

ESEMPIO SVOLTO n. 2

 

Le condizioni di esistenza dei logaritmi sono date dalle soluzioni del sistema di disequazioni     quindi  C.E.

Applicando la proprietà del logaritmo di un prodotto al primo membro si avrà:

                  

Il secondo membro può essere sostituito da   , in quanto il logaritmo di 10 ( in base 10) è proprio uguale ad 1:

                  

Ora è possibile uguagliare gli argomenti:

                  

Questa è una semplice equazione di secondo grado che ha come soluzioni:

                   x1 = - 5    e    x2 = +2

Considerando le condizioni di esistenza trovate prima, si vede che solo la seconda soluzione è accettabile, mentre la prima è da scartare in quanto rende negativi gli argomenti dei logaritmi.

 

 

ESEMPIO SVOLTO n. 3

 

 

Le condizioni di esistenza sono date dalle soluzioni del sistema di disequazioni

 

              quindi  C.E.  

 

Quindi avremo:

 

 

Applicando la proprietà del logaritmo di un prodotto otteniamo:

 

 

Uguagliando gli argomenti avremo la seguente equazione equivalente:

 

Da cui     . Poiché le condizioni di esistenza non sono soddisfatte in quanto  , l’ equazione è IMPOSSIBILE.



Esercizi da svolgere su EQUAZIONI LOGARITMICHE


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