Le derivate parziali

 

 

 Sezionando una superficie con un piano parallelo al piano coordinato xz oppure yz s’ottengano delle curve il cui andamento ci comunica informazioni sulla superficie.

 

  Tali sezioni sono funzioni d’una sola variabile e d’esse possiamo determinare tutto quello che c’interessa. Sfruttando queste considerazioni possiamo estendere il concetto di derivata alle funzioni di due variabili.

 

Consideriamo una funzione f (x,y) definita in un insieme  e sia P₀ (x₀,y₀) un punto di . Mantenendo fisso y₀ la funzione data dipende dalla sola variabile x e d’essa possiamo calcolare il rapporto incrementale relativo al punto x₀ e ad un incremento Δx.

 

Sappiamo che, se esiste finito il limite per Δx che tende a zero di tale rapporto, la funzione f (x,y₀) è derivabile in P_0. Possiamo allora dare la seguente definizione:

 

 

Si dice derivata parziale rispetto ad x della funzione f (x,y) nel punto P₀ (x₀,y₀) il limite, se esiste finito per Δx che tende a zero, del rapporto incrementale di f relativo al punto x₀ e all’incremento Δx, vale a dire

 

Come nel caso delle funzioni d’una sola variabile, accade poi che, se il limite del rapporto incrementale esiste finito per tutti i punti dell’insieme , allora la funzione f è derivabile parzialmente rispetto a x in tutto .

 

In modo del tutto analogo possiamo definire la derivata parziale della funzione f rispetto ad y:

 

Si dice derivata parziale rispetto ad y della funzione f (x,y) nel punto P₀ (x₀,y₀) il limite, se esiste finito per Δy che tende a zero, del rapporto incrementale di f relativo al punto x₀ e all’incremento Δy, vale a dire

 

Anche in questo caso, se il limite del rapporto incrementale esiste finito per tutti i punti dell’insieme , allora la funzione f è derivabile parzialmente rispetto a y in tutto .

Le derivate parziali d’una funzione f in un punto (x,y) s’indicano con uno dei seguenti simboli:

 

§  Per le derivate parziali rispetto a x: f’_x, z’_x,  

§  Per le derivate parziali rispetto a y: f’_y, z’_y,  

 

Attenzione! La derivabilità parziale non è una condizione sufficiente per la continuità

 

Per il calcolo d’una derivata parziale ci affidiamo alle regole imparate per il calcolo delle derivate delle funzioni in una sola variabile. Vediamo alcuni esempi:

 

1.    

 

Si ha subito che

(la derivata di 3y²-5 è uguale a zero perché è la derivata d’una costante)

(la derivata di x³-4x-5 è uguale a zero perché è la derivata d’una costante)

 

 

2.        

 

Ricordando le regole di derivazione per una funzione fratta

 

 

 

                                                                            derivate successive

 

Se le derivate prime f’_x (x,y) e f’_y (x,y) sono funzioni derivabili, si possono calcolare le loro derivate parziali. La funzione f’_x (x,y) può essere derivata parzialmente rispetto a x e parzialmente rispetto a y e così anche la funzione f’_y (x,y); le derivate così ottenute si dicono derivate seconde parziali della funzione f; tali derivate sono:

ottenuta calcolando la derivata rispetto ad x e poi rispetto ad x

ottenuta calcolando la derivata rispetto ad x e poi rispetto ad y

 ottenuta calcolando la derivata rispetto ad y e poi rispetto ad y

 

 ottenuta calcolando la derivata rispetto ad y e poi rispetto ad x

 

Le derivate seconde della funzione f calcolate prima rispetto ad una variabile e poi all’altra si dicono derivate miste.

Ad esempio, data la funzione , le sue derivate sono:

, con derivate seconde e ;

, con derivate seconde e .

Osserva che abbiamo ottenuto che le due derivate miste sono uguali. Questa relazione è vera in generale.

Teorema (di Schwarz) Se la funzione f (x,y) ha derivate seconde miste che sono continue in un insieme , allora  in ogni punto di .