Massimi e minimi d’una funzione di due variabili

 

Problemi introduttivi

Come per le funzioni d’una sola variabile reale, anche per le funzioni di due variabili č importante saper determinare i punti di massimo e minimo.

 
Risultati immagini per Máximos y mínimos en funciones de dos variables.
Esempio

 

Si sa che la domanda d’un bene dipende dal suo prezzo.

 

Una fabbrica che produce televisori e smartphone ha rilevato che le relazioni fra i prezzi e le quantitŕ vendute sono le seguenti:

 

              e   ,

 

dove x1 rappresenta la domanda di televisori ed x2   quella di smartphone e dove p1 e p2 sono i prezzi dei due beni.

 

Supponiamo che il costo per la produzione sia dato da

e ,

 

per cui il costo totale di produzione č:

Risultati immagini per televisori e smartphone cartoons

 

Il ricavo dell’azienda č dato dalla somma dei prodotti del prezzo di vendita di ciascun bene, il tutto moltiplicato per la quantitŕ venduta, vale a dire:

.

 

Il profitto dell’azienda č espresso dalla seguente relazione:

,

 

cioč .

 

 

Diventa interessante studiare come varia il profitto in dipendenza dalle variabili x1 e x2 e stabilire se esiste qualche punto in cui tale profitto diventa massimo.

 

 

 

 

 

I termini “massimo” e “minimo” sono stati usati finora in modo intuitivo. Vediamo di precisare meglio questi concetti.

 

 

Sia una funzione definita in un insieme D del piano. Si dice che un punto č un punto di minimo relativo per f se esiste un intorno di P0 contenuto in D per tutti i punti del quale capita che .

Analogamente

Si dice che un punto  č un punto di massimo relativo per f se esiste un intorno di P0 contenuto in D per tutti i punti del quale capita che .

 

 

 

Si parla invece di punto di minimo assoluto e di massimo assoluto se le relazioni sono vere per ogni .

I punti di massimo e di minimo vengono detti punti stremanti della funzione.

 

 

 

Vediamo come possiamo risolvere il problema della determinazione dei punti di massimo e di minimo d’una funzione .

 

La determinazione dei punti di massimo e di minimo

 

Vi sono diversi modi di determinare i punti di massimo e di minimo relativi d’una funzione di due variabili;   vediamo i principali:

 

 

Ricerca di Massimo e Minimo mediante linee di livello

 

 

Il Metodo hessiano per la ricerca dei punti di Massimo, Minimo e punti di sella

 

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