Equazioni di 1° grado frazionarie

Un’ equazione si dice frazionaria quando l’ incognita compare al denominatore di almeno una delle frazioni presenti.

Esempi:

1)         non è un’ equazione frazionaria perché al denominatore ci sono soltanto numeri.

2)        è invece un’ equazione frazionaria, in quanto al denominatore è presente l’ incognita ( x ).

Come si risolve un’ equazione frazionaria?

Cerchiamo di capirlo con un’ esempio svolto e risolviamo quindi la seguente equazione frazionaria:

Per risolvere l’ equazione bisogna prima di tutto escludere i casi particolari in cui le frazioni algebriche presenti perdono di significato, cioè i casi in cui i denominatori delle stesse si annullano.

Nel nostro caso deve essere: ,   . Poiché  ritroviamo gli stessi valori e quindi non dobbiamo discutere altre situazioni.

Se tra le soluzioni trovassimo  x = 3 oppure x = - 3 dovremmo escluderle in quanto non accettabili.

Ora possiamo cominciare… portiamo prima tutti i termini a sinistra dell’ uguale, rispettando le proprietà delle equazioni… osserva

il testo e il passaggio successivo (entrambi in giallo): la frazione che abbiamo spostato dal 2° al 1° membro ha davanti il segno -. Ricordi la proprietà delle equazioni il cui effetto è che tutto quello che sposti da un membro all’ altro cambia di segno? Accade in tutti i tipi di equazioni e nel nostro caso il 1° membro dell’ equazione è diventato un’ espressione con le frazioni algebriche:

    Bisogna allora ricordare tutti i procedimenti

imparati per eseguire le addizioni e le sottrazioni di frazioni algebriche

Il m.c.m. tra tutti i denominatori è  , quindi otteniamo  

Moltiplicando entrambi i membri dell’ equazione per il m.c.m.  si ottiene

da cui, dopo aver semplificato, segue che      

Siamo di fronte ad un’ equazione intera!

Risolvendo:

Cioè . La soluzione è accettabile, in quanto 1 è diverso da + 3 e da – 3.

· Esaminiamo le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche coinvolte

· Portiamo tutti i termini dell’ equazione al 1° membro, rispettando le proprietà delle equazioni

· Svolgiamo le operazioni con le frazioni algebriche presenti ricavando il valore dell’ incognita

· Confrontiamo il valore trovato con quelli eventualmente esclusi nella discussione delle condizioni di esistenza concludendo sull’ accettabilità o meno della soluzione trovata

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