DISEQUAZIONI INTERE DI SECONDO GRADO

 

Una disequazione intera di secondo grado si presenta, dopo aver eventualmente risolto i calcoli algebrici richiesti e aver portato tutti i termini al primo membro, nella forma

 

  oppure    con  e 

  oppure 

 

 

Cominciamo col dire che se, riducendo i termini della disequazione, otteniamo  il coefficiente , moltiplichiamo entrambi i membri della disequazione per – 1, ricordandoci di invertire anche il verso della disuguaglianza, e ci riconduciamo al caso precedente.

 

A questo punto possiamo cominciare:

 

ü  RISOLVIAMO L’ EQUAZIONE ASSOCIATA  cioè  

 

Possono presentarsi le seguenti situazioni:

·        Esistono due soluzioni distinte  la disequazione si può riscrivere così:

Essendo  , esso non incide sul segno del primo membro della disequazione, pertanto risulta equivalente chiedersi per quali valori di x si abbia   .

Basta studiare allora il segno di questo prodotto, composto dai fattori  e  :

 

:                             :    

 

 

 

 

Il seguente grafico mostra come varia il segno dei singoli fattori e come varia di conseguenza il segno del loro prodotto:

                                                                                                 

                                                                                                valori di x

                _ _ _ _ _                                                       

               _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

 

Segno del          +                  _                        +

Prodotto

 

 

Quindi possiamo concludere che il prodotto è positivo per .

Tali intervalli di valori di x costituiscono le soluzioni della disequazione iniziale.

 

Dal precedente grafico si può capire anche per quali valori di x il prodotto scritto è negativo, cioè è possibile risolvere anche la disequazione  : basta individuare la zona in cui otteniamo il segno del prodotto è -, cioè per .

·        Esistono due soluzioni coincidenti , allora la disequazione si può riscrivere così:   

Allora la disequazione è sempre verificata tranne che per , valore per cui si ha invece . Scriveremo quindi

NOTA BENE: se la disequazione fosse  non dovremmo escludere alcun numero e la disequazione sarebbe sempre verificata, cioè per le soluzioni avremmo

Quindi possiamo anche dedurre che la disequazione  sarebbe impossibile e la disequazione  sarebbe verificata soltanto per .

·        Non esistono soluzioni; questo vuol dire che non possiamo scomporre in fattori il trinomio di secondo grado , il quale, poiché , sarà sempre positivo. Allora avremo che la disequazione  sarà sempre verificata e la disequazione non avrà invece alcuna soluzione.

 

 

   

 

 

Come risolvere disequazioni di secondo grado

 

 

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