GONIOMETRIA

 

 

La goniometria si occupa dello studio degli angoli.

 

 

Angoli e loro misure

 

Considerate in un piano due semirette a,b di origine O. Si definisce angolo ciascuna delle due parti del piano delimitate dalle due semirette (quindi sia quella interna sia quella esterna)

Il punto O è il vertice e le due semirette lati

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un angolo si dice orientato quando si stabilisce quale dei due lati è il primo e quale il secondo.

 

 

 

 

 

 

 

 

si considera positivo un angolo che si ottiene con una rotazione antioraria, negativo un angolo che si ottiene con una rotazione oraria.

Nello studio di alcune discipline, però, tra le quali la Topografia, è vero il contrario, perché si usano degli strumenti che “leggono” gli angoli in modo “orario”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Angoli   Particolari Il sistema sessagesimale Il sistema radiale 

 

Esercizi


Da gradi a radianti Da radianti a gradi
Rivediamo le proprietà delle proporzioni

Ora che sappiamo risolvere anche le equazioni, guardiamo questo metodo efficace per trovare la frazione generatrice di un numero periodico
A quale frazione corrisponde un dato numero periodico

può ritornare utile quando, dovendo passare da gradi a radianti, ci troviamo di fronte, per l'appunto, ad un numero periodico

 

 

Angoli impropri

 

Consideriamo l’angolo  di lati a, b e di vertice o. Tale angolo è descritto dalla rotazione del primo lato a sul secondo lato b.

b

 
 


 

 

 

 

a

 
 

 

 


Osserviamo che il lato a può sovrapporsi al lato b anche dopo aver descritto un numero qualsiasi di angoli giri.

Gli angoli che si ottengono da un angolo  sommato ad un certo numero di angoli giri, si chiamano angoli impropri.

In generale, se  è l’ampiezza di un angolo di lati a e b, tutti gli angoli aventi gli stessi lati, espressi in gradi, sono:

 

dove k è un intero relativo che indica il numero di giri completi che la semiretta a compie attorno al vertice o dopo aver descritto l’angolo di ampiezza . L’intero k è positivo o negativo a seconda che la semiretta a compia i giri completi in senso antiorario o in senso orario.

 

 

 









                                                 La circonferenza goniometrica

 

Consideriamo in un piano cartesiano xOy la circonferenza con il centro nell’origine e raggio pari ad uno. Tale circonferenza si chiama circonferenza goniometrica.

Sia dato un angolo orientato . Disponiamo tale angolo nel piano cartesiano nel seguente modo: facciamo coincidere il vertice dell’angolo con l’origine O del sistema di riferimento e il suo primo lato con il raggio OA. Sia B il punto in cui il secondo lato dell’angolo interseca la circonferenza. Qualunque sia l’angolo  il punto A viene a trovarsi sempre nella stessa posizione e quindi ha sempre le stesse coordinate: A(1,0); la posizione di B invece, dipende dall’angolo scelto. Chiamiamo B il punto associato all’angolo  sulla circonferenza goniometrica.

 

 






In figura 3 sono riportati i punti associati agli angoli particolari. Il punto A è associato all’angolo di 0° e anche all’angolo di 360°; il punto B è associato all’angolo retto; il punto C all’angolo piatto; il punto D è associato all’angolo di 270°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 3

 
 

 

 

 

 


 

 

 

 

 Seno e coseno di un angolo

 

 

Si dice seno di un angolo  l’ordinata del punto associato ad  nella circonferenza goniometrica. (in figura il seno di  è BH)

Si dice coseno di un angolo  l’ascissa del punto associato ad  nella circonferenza goniometrica. (in figura il coseno di  è OH)

 

 

 

 

 

 

 

Consideriamo adesso l’angolo  di figura 4 e supponiamo che il punto P si muova sulla circonferenza in modo che l’angolo  assuma tutti i valori possibili tra 0° e 360°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 4

 
 

 

 


Quando , cioè , l’ordinata di P è zero e l’ascissa di P è uno, quindi si avrà:

 

 ;    .

 

Se P si sposta da A a B nel primo quadrante, cioè  cresce da 0° a 90°, l’ordinata di P è positiva, cioè , e cresce da 0 a 1, mentre l’ascissa di P è positiva, cioè , ma decresce da 1 a 0.

Si avrà poi quando

 ;    .

 

Se si osserva attentamente  la figura 4, si ottiene che al crescere di  da 90° a 180°, nel secondo quadrante, è  e  decresce da 1 a 0, mentre  e  decresce da 0 a –1.

Quando  si ha

 ;    .

 

Al crescere di  da 180° a 270° nel terzo quadrante, il seno decresce da 0 a –1 ed è negativo, mentre il coseno cresce da – 1 a 0 ed è negativo.

Quando  si avrà

 ;    .

 

Al crescere di  da 270° a 360°, nel quarto quadrante, il seno cresce da – 1 a 0 ed è negativo, mentre il coseno cresce da 0 a 1 ed è positivo.

A questo punto, quando P torna in A, si ha

 

 ;    .

 

Crescendo  oltre 360° i valori del seno e del coseno si ripetono periodicamente; diremo quindi che il seno ed il coseno sono funzioni periodiche con periodo uguale a 360° e si scrive:

 

 ;    .

 

dove k è un qualsiasi numero intero positivo o negativo.

Se per misurare l’angolo  si utilizzano i radianti, si scrive: 

 

 ;    .

 

                                                     Tangente di un angolo

 

Sia dato un angolo ; costruiamo al solito modo la circonferenza goniometrica e conduciamo dal punto A la retta t tangente alla circonferenza. Sia T il punto in cui il secondo lato dell’angolo, o il suo prolungamento, incontra tale tangente.

In figura si vede come cambia la situazione se  appartiene al primo, secondo, terzo, o quarto quadrante.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La tangente di un angolo orientato è l’ordinata del punto di intersezione tra il secondo lato dell’angolo, o il suo prolungamento, con la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A.

 

Si osservi che se il secondo lato dell’angolo  viene a cadere sull’asse y, tale lato risulta parallelo alla retta t, e quindi non può mai intersecarla.

Perciò se , la tangente di  non esiste.

Mentre se , il punto T coincide con il punto A, pertanto la sua ordinata è zero. Risulta quindi

 

 

Anche per  il punto T coincide con A, quindi

 

 

Anche la tangente, come il seno ed il coseno, è una funzione periodica, ma stavolta il periodo non è un angolo giro, ma un angolo piatto. La tangente di un angolo, cioè, assume gli stessi valori ogni 180°. Scriveremo quindi

 

    oppure    

 

 

 

 

Relazioni fondamentali della trigonometria Valore di funzioni trigonometriche di angoli particolari Le funzioni inverse

 

Relazione tra particolari coppie di angoli Formulario    Il grafico di funzioni trigonometriche


Esercizi


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